회전의 수학 I : 삼각함수와 회전변환
공간을 정의하고, 물체를 구성하고, 벡터 연산으로 관계를 계산할 수 있게 됐습니다. 이제 마지막으로 물체를 회전시키려면 어떤 수학이 필요할까요?
1. 회전 변환이란 무엇인가
앞서 벡터 공간의 모든 벡터는 표준 기저 벡터의 선형 조합으로 표현된다고 했습니다. 이 말은 곧, 표준 기저 벡터가 바뀌면 공간 안의 모든 원소가 그 변화에 따라 함께 재배치된다는 뜻입니다.
회전 변환도 마찬가지입니다. 공간 전체를 회전시키는 것은 결국 표준 기저 벡터를 회전시키는 것과 같습니다.
그런데 회전할 때 물체의 모습이 변하면 안 됩니다. 늘어나거나 찌그러지지 않아야 하죠. 이를 위해 표준 기저 벡터는 두 가지 성질을 반드시 유지해야 합니다:
① 크기가 1이어야 한다
② 서로 직교(90°)해야 한다
이 두 성질을 유지하면서 기저 벡터를 변환하면, 그것이 바로 회전 변환입니다.
Summary
게임에서의 변환은 물체가 움직이는 것이 아니고 물체를 담은 공간이 움직인다.
회전 변환은 물체의 모습이 변하지 않도록 표준 기저 벡터의 성질을 유지하여 새로운 공간을 창조하는 작업이다.
2. 단위 원과 삼각함수
크기가 1인 벡터들을 모두 나열하면 단위 원(Unit Circle) 이 형성됩니다. 즉, 단위 원 위의 모든 점은 크기가 1이라는 조건을 자동으로 만족합니다.
그럼 단위 원 위의 점 좌표를 어떻게 표현할까요? 여기서 삼각함수가 등장합니다.
직각삼각형에서 각도 θ에 따른 변들의 비율을 삼각비라고 합니다.
sin θ = 높이 / 빗변
cos θ = 밑변 / 빗변
단위 원에서는 빗변이 항상 1이므로
단위 원 위의 점 = (cosθ, sinθ)
💡 cos는 각도에 따른 x축 성분, sin은 각도에 따른 y축 성분입니다. 삼각함수는 삼각형의 수학이기도 하지만, 게임에서는 각도에 따라 x, y 성분이 얼마나 되는지 알려주는 도구로 이해하는 게 더 중요합니다.
3. 2차원 회전 행렬
이제 표준 기저 벡터를 각도 θ만큼 회전시키면 어떻게 될지 계산할 수 있습니다.
(1, 0) → (cosθ, sinθ) ← 단위 원 위의 점
(0, 1) → (-sinθ, cosθ) ← 위와 직교하는 벡터
두 번째 기저 벡터가 (-sinθ, cosθ)가 되는 이유는, 첫 번째 벡터와 크기 1, 직교라는 두 조건을 동시에 만족해야 하기 때문입니다.
임의의 점 (x, y)를 θ만큼 회전시킨 결과를 매번 수식으로 계산하면 복잡합니다. 그래서 변환된 표준 기저 벡터들을 열로 나열해 행렬로 압축합니다:
R(θ) = | cosθ -sinθ |
| sinθ cosθ |
이것이 2차원 회전 행렬입니다. 어떤 점에든 이 행렬을 곱하면 θ만큼 회전한 새로운 좌표를 얻을 수 있습니다.
4. 3차원 회전으로 확장하면
2차원 회전은 하나의 평면에서 이루어지기 때문에 비교적 단순합니다. 하지만 3차원에서는 임의의 2차원 평면을 설정하고 그 평면을 따라 회전시켜야 하기 때문에 훨씬 복잡합니다. 게임에서는 주로 두 가지 방식을 사용합니다.
① 축-각 회전 (Axis-Angle) — 로드리게스 회전 공식
임의의 회전축을 설정하고, 그 축을 중심으로 해당 평면을 따라 회전시키는 방식입니다. 내적과 외적을 함께 사용합니다.
회전축 벡터 + 회전 각도 → 새로운 좌표
⚠️ 단, 로드리게스 회전 공식은 복잡하고 행렬로 만들기 어렵다는 단점이 있습니다. 행렬로 변환되지 않으면 렌더링 파이프라인의 흐름이 끊겨 효율이 떨어질 수 있습니다.
② 오일러 각 (Euler Angles)
X, Y, Z 세 축을 기준으로 각각 얼마나 회전했는지 순서대로 세 번 저장하는 방식입니다.
회전 = (X축 회전량, Y축 회전량, Z축 회전량)
직관적이고 데이터가 적어서 대부분의 3D 그래픽 툴에서 사용합니다. ⚠️ 하지만 두 가지 문제가 있습니다.
- 임의의 축에 대해 부드러운 움직임을 표현하려면 매번 세 번씩 재계산해야 해서 비효율적입니다.
- 짐벌락(Gimbal Lock) 현상이 발생할 수 있습니다.
5. 짐벌락(Gimbal Lock)이란
오일러 각 방식의 치명적인 한계입니다. 세 축을 순서대로 회전시키다 보면 특정 각도에서 한 축의 회전이 다른 축과 겹쳐버려 자유도가 하나 사라지는 현상입니다.
X축 회전 → Y축 회전 → Z축 회전
↓
특정 각도에서 두 축이 같은 평면에 겹침
↓
자유도 1개 소멸 😱
3차원 회전의 안정적인 구현을 위한 대안
두가지 방식 모두 결함이 있는 3차원 회전 문제를 해결하기 위해 수학자와 공학자들이 고안한 것이 바로 사원수(쿼터니언, Quaternion) 입니다.
흐름 정리
표준 기저 벡터의 선형 조합 → 공간의 모든 벡터를 표현
→ 회전 변환 = 기저 벡터를 (크기 1, 직교) 유지하며 변환
→ 크기 1인 벡터들의 집합 = 단위 원
→ 단위 원 위의 점 = (cosθ, sinθ)
→ 2차원 회전 행렬로 압축
→ 3차원으로 확장
→ 축-각 회전 (행렬 변환 어려움)
→ 오일러 각 (직관적, 데이터 적음)
→ 짐벌락 문제 발생
🔄 회전의 수학 II : 사원수(Quaternion)
파트 1에서 오일러 각과 축-각 회전 방식이 각각 한계를 가진다는 것을 확인했습니다. 이 두 방식의 문제를 동시에 해결하는 중간 지점의 솔루션이 바로 사원수(Quaternion) 입니다.
오일러 각 → 직관적이지만 짐벌락 발생, 부드러운 회전 표현 어려움
축-각 회전 → 직관적이지 않고 행렬 변환이 까다로움
두 방식 모두 단독으로 쓰기엔 문제가 있습니다. 사원수는 이 둘의 단점을 보완하면서 등장했습니다.
2. 사원수를 이해하기 전에: 수란 무엇인가
사원수가 낯선 이유는 “4차원 수”라는 개념이 생소하기 때문입니다. 그런데 사실 수의 정의를 알면 자연스럽게 받아들일 수 있습니다.
수는 집합의 관점에서 단순한 원소들의 모음일 뿐만 아니라, 사칙연산과 같은 연산 체계를 가진 구조를 가진 집합입니다. 이러한 연산 체계의 성질을 만족하면 몇 개의 요소로 구성되든 “수”라고 부를 수 있습니다.
실수 → 1개의 요소
복소수 → 실수 + 허수(i) = 2개의 요소
사원수 → 실수 + 허수(i, j, k) = 4개의 요소
복소수가 실수에 허수 i를 더한 것처럼, 사원수는 복소수에서 개념을 확장해 세 종류의 허수(i, j, k)를 추가한 4차원 수 체계입니다.
2. 크기가 1인 수와의 곱 = 회전
사원수를 이해하는 핵심 아이디어가 있습니다.
크기가 1인 수를 곱하면 회전이 일어난다
이 원리가 실수 → 복소수 → 사원수로 확장되는 과정을 보면 명확해집니다.
① 실수에서
어떤 수 × 1 → 0도 회전 (그대로)
어떤 수 × -1 → 180도 회전
실수는 직선이라 회전의 의미가 제한적입니다.
② 복소수에서
실수를 x축, 허수 i를 y축으로 하는 복소 평면으로 확장하면, 크기가 1인 복소수는 삼각함수로 표현됩니다.
크기가 1인 복소수 = cosθ + i sinθ
그리고 임의의 복소수에 이 값을 곱하면 평면에서 θ만큼 회전이 일어납니다. 복소수의 곱셈 연산이 회전 변환 공식과 정확히 일치하기 때문입니다.
③ 사원수에서
아일랜드 수학자 해밀턴이 10년간의 연구 끝에 발견했습니다. 크기가 1인 사원수의 곱은 4차원 공간의 임의의 회전을 나타냅니다.
사원수 = w + xi + yj + zk
→ 3차원 공간에서 i, j, k를 각각 x, y, z 축에 대응
→ 나머지 차원(w)은 회전 각도 정보를 담음
사원수의 곱셈 연산은 내적과 외적으로 요약됩니다. 앞서 배운 내적과 외적이 여기서 다시 연결되는 것입니다.
3차원 공간의 회전은 구체적으로 이렇게 표현됩니다.
회전 = q × v × q⁻¹
→ q : 각을 절반으로 나눈 크기가 1인 사원수
→ q⁻¹ : q의 반대 방향 사원수
→ 결과 : 외적 식으로 정리되어 게임 엔진의 기본 회전 공식이 됨
3. 사원수의 장점
① 빠른 계산 → 외적 연산 기반으로 빠르고 간편하게 처리
② 짐벌락 없음 → 축을 순서대로 회전시키지 않아 자유도 손실 없음
③ 부드러운 회전 → 임의의 축에 대해 자연스러운 보간 가능
④ 행렬 변환 용이 → 렌더링 파이프라인으로 매끄럽게 연결
4. 게임 엔진에서의 활용
사원수는 강력하지만 직관적이지 않습니다. 그래서 게임 엔진은 이렇게 설계되어 있습니다.
내부 계산 → 사원수로 처리 (빠르고 안정적)
사용자 화면 → 오일러 각으로 변환해서 표시 (직관적)
유니티나 언리얼에서 Inspector 창에 X, Y, Z 회전값으로 보이는 것이 오일러 각이고, 내부적으로는 전부 사원수로 계산되고 있는 겁니다.
flowchart TB subgraph 트랜스폼의 회전 시스템 Q[Quaternion] LA[Local Axes] Q --> LA end subgraph 게임 로직 R[Rotator] end subgraph 렌더링 로직 M[Matrix] end R <--> Q LA --> M
참고자료